Seh ich genauso. Die Klinik ist der Arbeitgeber, die Personalabteilung übernimmt die Funktion der Koordination der Mitarbeiter. Der Chef ist meist "nur" fachlicher Vorgesetzter.
Ich habs immer so gemacht: als allererstes bin ich zum Chef gegangen und hab es dem mündlich mitgeteilt und dann zur Personalabteilung und hab es denen schriftlich vorgelegt. Dann ist der gefühlte Dienstweg eingehalten und der Chef fühlt sich nicht übergangen.