Steht eigentlich alles oben
Vertrag gibt es üblicherweise keinen.
Du meldest die freiberufliche tätigkeit beim Finanzamt an und bekommst eine Steuernummer. Damit schreibst du dann Rechnungen an deine Auftraggeber nach den vereinbarten KOnditionen.
Du brauchst natürlich eine eigene Berufshaftpflicht dafür.
Du solltest die Nebentätigkeit auch der Ärztekammer und dem Versorgungswerk melden.
Und immer dran denken: du kriegst erstmal das Honorar vollständig, im nächsten Jahr holt sich dann das Finanzamt ordentlich was zurück ;) Also nicht alles ausgeben