In Deutschland funktioniert das mit den Bewerbungen meist eher kurzfristig. Wenn jemand kündigt und dabei seine Kündigungsfrist von 3 Monaten einhält, wird auch genauso schnell jemand Neues gesucht/gebraucht. Sich ein halbes Jahr oder Jahr vorher zu bewerben kann man siche auch machen, aber da kann es gut sein, dass man sich zwar einläd, dir aber keine Stelle versprechen/konkret anbieten kann.
Die Bewerbung habe ich bisher immer an den Chefarzt der Abteilung gerichtet. Wenn man sich auf eine Anzeige bewirbt, kann es sein, dass man die Bewerbung an eine Personalabteilung richten muss, aber bei Initiativbewerbungen würde ich immer direkt an den Chefarzt schreiben und schicken. Vielleicht vorher im Sekretariat anrufen und fragen, ob du die Bewerbung auch per Mail schicken kannst und an welche E-Mail Adresse das dann soll.
Ich hab von Pädiatrie jetzt keine Ahnung, aber ich würde mich wohl einfach mal überall bewerben. So viele Kinderkliniken kann es in Berlin jetzt auch nicht geben, dass das nicht überschaubar wäre.