Was ich noch bedenken würde: willst du, dass dein jetziger Chef von deiner Bewerbung erfährt. Der neue Chef wird nämlich gerne bei ihm nachfragen. Falls du das nicht möchtest, solltest du das auch erwähnen.
Ich wollte damals nicht, dass mein ehemaliger Chef erfährt, dass ich mich wegbewerbe und habe das geschrieben ("Da ich mich derzeit in einem ungekündigten Arbeitsverhältnis befinde bitte ich um Diskretion bezüglich Nachfragen." oder ähnlich).